基于虚拟域张量填充的互质面阵二维波达方向估计方法

1.一种基于虚拟域张量填充的互质面阵二维波达方向估计方法，其特征在于，包含以下步骤：(1)接收端使用4M x M y +N x N y -1个物理天线阵元，按照互质面阵的结构进行架构；其中，M x 、N x 以及M y 、N y 分别为一对互质整数；该互质面阵分解为两个稀疏均匀子面阵 和 其中 包含2M x ×2M y 个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为N x d和N y d， 包含N x ×N y 个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为M x d和M y d，单位间隔d取为入射窄带信号波长λ的一半，即d＝λ/2；(2)假设有K个来自 方向的远场窄带非相关信号源，θ k 和 分别为第k个入射信号源的方位角和俯仰角，k＝1，2，…，K，则稀疏均匀子面阵 的T个采样快拍信号用一个三维张量 表示为：其中，s k ＝[s k，1 ，s k，2 ，…，s k，T ] T 为对应第k个入射信号源的多快拍采样信号波形，[·] T 表示转置操作， 表示矢量外积， 为与各信号源相互独立的噪声张量， 和 分别为 在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为 的信号源，表示为：其中， 和 分别表示稀疏均匀子面阵 在x轴和y轴方向上物理天线阵元的实际位置，且 稀疏均匀子面阵 的T个采样快拍信号用另一个三维张量 表示为：其中， 为与各信号源相互独立的噪声张量， 和 分别为 在x轴和y轴方向上的导引矢量，对应于来波方向为 的信号源，表示为：其中， 和 分别表示稀疏均匀子面阵 在x轴和y轴方向上物理天线阵元的实际位置，且 通过求三维张量 和 的互相关统计量，得到二阶互相关张量 其中， 表示第k个入射信号源的功率， 表示互相关噪声张量，＜·，·＞ r 表示两个张量沿着第r维度的张量缩并操作，E[·]表示取数学期望操作，(·) * 表示共轭操作；互相关噪声张量 仅在第(1，1，1，1)个位置上存在取值为 的元素， 表示噪声功率，而在其他位置上的元素取值均为0；(3)定义维度集合 通过对互相关张量 进行维度合并的张量变换，得到一个虚拟域信号 其中， 和 分别通过在指数项上形成差集数组，构造出沿着x轴和y轴方向的二维增广虚拟面阵， 表示Kronecker积；因此， 对应一个大小为 的非连续虚拟面阵 该非连续虚拟面阵 中包含了整行和整列的孔洞，即缺失元素；(4)构建非连续虚拟面阵 关于坐标轴镜像的虚拟面阵 并将 和 在第三维度上叠加成一个大小为 的三维非连续虚拟立方阵列 这里， 且 对应地，将虚拟域信号 的共轭转置信号 中的元素进行重新排列，以对应 中虚拟阵元的位置，得到对应于虚拟面阵 的虚拟域信号 将 和 在第三维度上进行叠加，得到对应非连续虚拟立方阵列 的虚拟域张量 表示为：其中， 和 分别为非连续虚拟立方阵列 在x轴和y轴上的导引矢量，对应于来波方向为 的信号源，由于 中存在孔洞， 和 分别对应 中x轴和y轴方向上孔洞位置的元素置为零，表示对应于 和 的镜像变换因子矢量；由于非连续虚拟面阵 中包含了整行和整列的孔洞，由 和其镜像部分 叠加得到的非连续虚拟立方阵列 中包含了成片的孔洞，对应非连续虚拟立方阵列 的虚拟域张量 由此包含了成片的缺失元素；(5)设计一个大小为P x ×P y ×2的平移窗口选取虚拟域张量 的一个子张量 中包含了 三个维度上索引分别为(1∶P x -1)，(1∶P y -1)，(1∶2)的元素；随后，将平移窗口分别沿x轴和y轴方向依次平移一个元素，将 分割成L x ×L y 个子张量，表示为 该平移窗口大小的取值范围为：且L x 、L y 、P x 、P y 之间满足以下关系：将具有相同s y 索引下标的子张量 在第四维度进行叠加，得到L y 个维度为P x ×P y ×2×L x 的四维张量；进一步地，将这L y 个四维张量在第五维度叠加，得到一个五维虚拟域张量 这个五维虚拟域张量 涵盖了x轴和y轴方向空间角度信息、空间镜像变换信息，以及x轴和y轴方向的空间平移信息；定义维度集合 则通过 的维度合并，得到三维的重构虚拟域张量 的三个维度分别表征空间角度信息、空间平移信息以及空间镜像变换信息，由此，原始虚拟域张量 中的成片缺失元素被随机分布到 所涵盖的三个空间维度上；(6)设计一个基于张量核范数最小化的虚拟域张量填充优化问题：其中，优化变量 是填充后的虚拟域张量，对应于虚拟均匀立方阵列 ||·|| * 表示张量核范数， 表示 中非缺失元素的位置索引集合， 表示张量在 上的映射；由于核范数是凸函数，基于张量核范数最小化的虚拟域张量填充问题是一个可解的凸优化问题，求解该凸优化问题，得到 (7)填充后的虚拟域张量 表示为：其中， 为 的空间因子，分别表示虚拟均匀立方阵列 沿着x轴和y轴方向的导引矢量，分别为平移窗口截取子张量过程中对应于x轴和y轴方向的空间平移因子矢量；对填充后的虚拟域张量 进行canonical polyadic分解，得到三个因子矢量p k ，q k 和c k 的估计值，表示为 和 从中提取包含在 和 指数项的角度参数，得到二维波达方向估计结果 2.根据权利要求1所述的基于虚拟域张量填充的互质面阵二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(1)所述的互质面阵结构具体描述为：在平面坐标系xoy上构造一对稀疏均匀子面阵 和 其中 包含2M x ×2M y 个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为N x d和N y d，其在xoy上的位置坐标为{(N x dm x ，N y dm y )，m x ＝0，1，...，2M x -1，m y ＝0，1，...，2M y -1}； 包含N x ×N y 个天线阵元，在x轴方向上和y轴方向上的阵元间距分别为M x d和M y d，其在xoy上的位置坐标为{(M x dn x ，M y dn y )，nx＝0，1，...，N x -1，n y ＝0，1，…，N y -1}；M x 、N x 以及M y 、N y 分别为一对互质整数；将 和 按照坐标系(0，0)位置处阵元重叠的方式进行子阵列组合，获得实际包含4M x M y +N x N y -1个物理天线阵元的互质面阵。 3.根据权利要求1所述的基于虚拟域张量填充的互质面阵二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(2)所述的互相关张量推导，在实际中， 通过计算张量 和 的互相关统计量近似得到，即采样互相关张量 4.根据权利要求1所述的基于虚拟域张量填充的互质面阵二维波达方向估计方法，其特征在于，步骤(7)中，对填充后的虚拟域张量 进行canonical polyadic分解，得到因子矢量 和 则参数 和 从 和 中提取为：其中，∠(·)表示复数取幅角操作，a (a) 表示一个矢量a的第a个元素；这里，根据 和 的Kronecker结构，η 1 ∈[1，P x P y -1]和η 2 ∈[1，L x L y -1]分别满足mod(η 1 ，P x )≠0和mod(η 2 ，P y )≠0，且δ 1 ∈[1，P x P y -P x ]，δ 2 ∈[1，L x L y -L x ]，mod(·)表示取余数操作；根据参数(μ k ，v k )与二维波达方向 之间的关系，得到二维波达方向估计 的闭式解为：