高维上同调示性类与无穷范畴

20251126

科学研究和技术服务业

可国（境）内外转让

北京市自然科学基金本科生“启研”计划

北京市科学技术委员会;中关村科技园区管理委员会

本项目对于相对情形的几何分歧理论进行了初步的研究，建立了相对奇异支撑、相对示性类的基本概念，证明了它们作为分歧不变量的基本性质，并提出了带非孤立奇点的 Milnor 公式猜想，为相对情形几何分歧现象的研究提供了思路和研究方向。 本项目的研究目标是高维、相对情形的分歧现象，具体而言是研究高维相对上同调示性类在 Chow 群和上同调群中的表现，并研究 Saito 猜想的类似推广。 在 Chow 群层面，我们将 Beilinson 的奇异支撑推广到了相对情形，将Saito 等人的示性链推广到了相对情形，证明了相对奇异支撑和相对示性链的拉回推出性质。我们构造了 NA 链，证明了相对情形的 Chow 群中纤维化公式。 在上同调层面，我们使用六函子机制的抽象工具对上同调示性类和 NA 类进行了研究。通过高维无穷范畴的工具，我们将郑维喆和陆晴定义的上同调对应进行了推广，建立了双变上同调对应的理论，从而得以高效地处理六函子有关的凝聚交换图表。借助双变上同调对应的工具，我们证明了 NA 类满足范畴迹公式，作为推论我们证明了 NA 类的拉回推出性质以及加性性质。 在 Saito 猜想的推广层面，我们提出了带非孤立奇点的 Milnor 公式猜想，这是 Saito 猜想和 Milnor 公式的共同推广。本项目期间我们未能证明该推广版本的猜想，但是我们的研究为相信该猜想成立提供了一定的凭据。